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主要研究方向介绍


[日期:2011-12-13]

一、非线性数学理论及其应用
非线性数学理论及其应用方向主要研究孤立子与可积系统理论,在构造有限维可积系统、求解孤立子方程等领域取得较好的研究成果。2006年以来获得国家自然科学基金项目1项,内蒙古自然科学基金项目2项,教育部科学研究重点项目1项,内蒙古高等学校科学研究项目2项,内蒙古自然科学奖一等奖1项,在《Journal of Mathematical Physics》、《Chaos, Solitons and Fractals》、《Physics Letters A》、《物理学报》等国内外学术期刊上发表学术研究论文近80篇,其中41篇论文被SCI收录。该方向取得的主要成果有:
[1] 在有限维可积系统的构造方面,突破正则性条件和Jacobi-Ostrogradsky坐标的限制,引入新的坐标体系,统一处理正则和非正则约束流,将二者都变换为有限维可积Hamilton系统。创立构造有限维可积系统的规范变换法,用交错对应关系建立了非正则约束流的的Lax表示、Hamilton结构与Poisson结构。
[2] 利用符号计算给出计算R-矩阵与求解Yang-Baxter方程的方法,解决了可积系统理论中冗长而繁难的重要计算问题。
[3] 基于符号计算建立了辅助方程法、sine-Gordon方程的初等解法、寻找非线性偏微分方程的孤立波解、非孤立波解、类孤子解等的某些直接方法。
[4] 发展基于符号计算的Darboux阵方法,借助(3+1)维非线性方程分解为三个(1+1)维非线性方程的技巧,首次将N重Darboux阵方法成功地应用到(3+1)维非线性发展方程中获得了(3+1)维非线性发展方程的多孤立子解、孤子共振解和多Complexiton解。给出了用N重Darboux阵方法构造N-Complexiton解的一种新途径。

二、微分方程及其控制理论
微分方程及其控制论方向从60年代开始研究泛函微分方程稳定性、振动性、镇定性等问题,形成一个以时滞微分不等式为特色的研究方项,2006年以来获得国家自然科学基金项目2项,内蒙古自然科学基金项目3项,内蒙古高等学校科学研究项目3项,在《Dynamics of Continuous,Discrete and Impulsive Systems,Series B》《Journal of Mathematical Analysis and Applications》、《数学物理学报》、《应用数学学报》等国内外学术期刊上发表学术论文近30篇,其中7篇论文被SCI和EI收录。目前该方向正在开展微分算子的辛几何刻画、随机微分系统的稳定性、镇定性与控制等问题的研究,取得的主要成果有:

[1] 算子的结构与辛空间的结构之间建立起联系,利用辛空间的性质来描述微分算子的性质,首次利用辛空间对微分算子的自伴域进行了分类研究,完全刻画了W-T域、Everitt域的不完全性。
[2] 研究微分算子的结构与由其产生的辛空间的结构之间的关系。
[3] 从代数的侧面研究微分算子,用辛空间中的辛不变量、子流形 来刻画微分算子的相应性质。
[4] 以创建新型的时滞微分不等式探求泛函微分方程稳定性、振动性及周期解存在的判定方法,创建具有无穷时滞、多种因素混合的、具高次项的非线性复杂系统的时滞微分不等式。
[5] 研究了随机微分系统的稳定、镇定与控制的研究,主要对系统的稳定性、容错、纠错及可靠性控制问题,镇定控制器的设计问题、控制器的设计问题。

三、连续介质力学中的数学问题研究
近年来,许多新型材料不断涌现出来。由于描述新型材料受力与变形的系统由经典的低阶偏微分方程变为高阶方程,由线性方程变为非线性方程,由单一场变量的方程变为多场耦合的方程等,其力学行为较经典弹性有明显不同,经典的数学方法受到了很大的局限。本方向主要针对新型材料力学研究中的若干数学问题展开研究,2006年以来获得国家自然科学基金资助项目1项,国家自然科学基金数学天元基金项目1项,内蒙古自然科学基金资助项目2项,内蒙古人才基金项目1项,内蒙古博士基金项目1项,内蒙古高等学校科学研究项目1项,内蒙古自然科学奖三等奖1项,在《International Journal of Solid and Structure》、《Mechanics Research Communication》、《中国科学E》、《力学学报》等国内外学术期刊上发表论文近20篇,其中11篇论文被SCI收录。该方向取得的主要成果有:
[1]发展了经典弹性与断裂力学中的复变方法,建立了若干非有理函数形式的保角变换,利用Cauchy积分理论,给出了若干裂纹与孔口相互作用的平面弹性问题的解析解,这些解包括了若干经典的数值结果。
[2]将经典弹性与断裂力学中的复变方法发展到新型材料中。首创准晶弹性与缺陷的复变方法,解决了若干用其他方法(如Green函数法、Fourier变换法等)不能解决的结构较为复杂的一维和二维准晶弹性与缺陷问题,如孔口问题、裂纹问题以及准晶中平行位错间的相互作用、裂纹与位错的相互作用等问题。
[3]通过引入新的位移势函数,建立了包括单斜准晶、正方准晶、四方准晶和六方准晶在内的多种一维准晶系的平面弹性理论,推导了它们的弹性问题的控制方程,利用广义复变函数给出了其应力场和位移场的基本解,并利用所给出的基本解求解了一维正方准晶系中平行于准周期方向的无限长直位错的弹性问题。
[4]开展了有限元方法研究,并在金属多胞材料的连续本构模型和断裂理论方面得到了应用。

四、空间理论及其应用
空间理论及其应用方向属于泛函分析的一个主要分支,主要研究空间的几何理论和逼近理论,且在局部凸空间理论、数值逼近、算子理论、调和分析、最优化与控制、经济数学中有着广泛应用。2006年以来,获得国家自然科学基金项目2项,内蒙古自然科学基金项目4项,在《Mathematical Analysis and Applications》、《Nonlinear Analysis》、《科学通报》、《应用数学学报》等国内外学术期刊上发表学术论文篇,其中篇论文被SCI收录。该方向取得的主要成果有:
[1] 引入若干新的凸性与光滑性概念及K暴露点和K强暴露点等工具,建立了一系列重要的基本理论和方法,刻画了若干重要空间的特征,并统一了许多重要Banach 空间与其对偶空间之间的一系列经典结果,特别,对偶性这一点上使有关结论具有了系统性和完整性。
[2] 创造性地建立了K一致凸空间概念的对偶概念--K一致光滑空间的概念并解释了K一致凸空间与K一致光滑空间的内在联系。
[3] 引进K强暴露点的概念,研究K-强凸空间与K-强光滑空间给出其特征刻画的同时得到了K-强凸空间的诸多重要性质。
[4] 给出局部K接近一致凸空间的对偶概念—局部K接近一致光滑空间给出其特征刻画的同时得到了局部K接近一致光滑空间的诸多重要性质。
[5] 引进了K—泛函这一工具,在Orlicz空间和B空间中把经典的Jackson 定理推广到崭新的高度,并完全包含了前人的结果。
[6] 对一些重要函数类的宽度进行了精确估计和渐近估计,并找到相应的极子空间。